Fotografia Adama Pietrasiewicza
Adam Pietrasiewicz
Widziane z pozycji siedzącej
czyli
co mam do powiedzenia na tematy bieżące i ponadczasowe.

E-book - historical fiction

Przejście do strony na której można kupić ebook Powroty

Co by było, gdyby Polska nie powiedziała NIE Hitlerowi?

Niemożliwe i niewiarygodne(?)

04 stycznia 2021

różne operacje matematyczne czarnym kolorem na niebiesko-białym tle

Niektóre rzeczy są ewidentne dla każdego, kto choć przez chwilę chodził do szkoły. Niektóre działania matematyczne są jakby odruchem bezwarunkowym i gdy ktoś powie "dwa razy dwa" to odpowiedź jest automatyczna. A gdy ktoś zapyta, czy wynik dodawania jest większy od składników, które się dodaje, to automatycznie każdy odpowie, że tak...

No, prawie każdy. Są tacy, którzy wiedzą, że niekoniecznie. Są sytuacje, w których wynik dodawania wcale nie jest większy od składników, ale nie czarujmy się, jest ich niewielu.

Zapraszam Państwa do zabawy arytmetyką. Najprostszą, albo PRAWIE najprostszą, gdyż będziemy mówili o operacjach na zbiorach nieskończonych. A gdy mamy do czynienia z nieskończonościami, to możemy być pewni, że czekają nas niezwykłe niespodzianki.

Prosiłbym wszystkich, którzy uczęszczali do szkoły i udało im się skończyć 6 klas szkoły podstawowej o nieuciekanie stąd, gdy zobaczą poniżej działania matematyczne. One nie gryzą. Są proste. To, co poniżej, te obliczenia, które widzą Państwo kątem oka, to są wyłącznie najprostsze operacje z najprostszej arytmetyki na poziomie szkoły podstawowej. Obliczenia te nie są trudne. To, co będzie trudne, to przyjęcie do wiadomości ich wyniku. A zapewniam, że nie ma tu żadnego oszustwa, żadnego "triku".

A więc do dzieła.

Wyobraźmy sobie, że chcemy obliczyć sumę wszystkich liczb naturalnych, czyli 1,2,3,4,5,6,7... i tak dalej, i tak dalej aż do nieskończoności. Szaleństwo, prawda? Jedni powiedzą, że się nie da, inni powiedzą, że wynikiem jest po prostu nieskończoność, a jeszcze inni zaczną kombinować, żeby to jednak policzyć. Bo można. Arytmetyka jest wdzięczną dziedziną matematyki, można dzięki niej dokonywać prawie cudów...

Oto jak możemy obliczyć ile wynosi suma wszystkich liczb naturalnych.

Zacznijmy od sumy "prostego" zbioru (słowo prosty ująłem w cudzysłowie gdyż w przypadku nieskończoności trudno jest mówić o czymkolwiek prostym) złożonego z samych jedynek. Mamy na zmianę nieskończenie wiele par liczb +1 oraz -1 i chcielibyśmy zrobić ich sumę.

Wyobraźmy więc sobie operację dodawania 1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+... i tak do nieskończoności. Jest to całkiem prawidłowa w arytmetyce operacja, którą nazwiemy "A".

Dla ułatwienia sprawdzenia wszystkich operacji, które prezentuję poniżej, ponumeruję je. Jeśli któryś z Czytelników będzie chciał komentować przedstawione operacje, to ułatwi mu to wskazanie konkretnych działań. Numery działań podaję w kwadratowych nawiasach.

[1]

A=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+...

Jak w takim przypadku prezentowałoby się -A (minus A)? To proste - wszystkie składniki sumy zamieniłyby się znakami! Czyli otrzymalibyśmy:

[2]

-A=-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-...

Natomiast gdybyśmy po obu stronach równania dodali 1 (mamy do tego pełne prawo!) to otrzymalibyśmy:

[3]

1-A=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-...

Każdy spostrzegawczy czytelnik zauważy, że po prawej stronie równania mamy nic innego, jak A! Okazuje się więc, że:

[4]

1-A=A

Czyli otrzymujemy prościutkie równanie, którego rozwiązanie nie sprawia żadnych kłopotów szóstoklasiście.

[5]

2A=1 czyli A=0,5 (albo 1/2)

Co bardziej spostrzegawczy czytelnicy zauważą już w tym momencie coś niezwykłego, coś całkowicie sprzecznego z intuicją. A mianowicie obliczyliśmy tutaj nieskończoną sumę par liczb +1 i -1 i wynosi ona 0,5 czyli 1/2! Niezwykłe, co? Każdemu nieobeznanemu z nieskończonościami mogłoby się wydawać, że wynikiem powinno być zero, albo chociaż nieskończoność. A tu mamy 1/2. I tutaj NAPRAWDĘ nie ma żądnego oszustwa. Wszystkie opisane wyżej operacje są jak najbardziej prawidłowymi operacjami arytmetycznymi!

Ale liczmy dalej! Naszym celem jest obliczenie sumy WSZYSTKICH liczb naturalnych, których, jak wiadomo, jest nieskończenie wiele.

Wyobraźmy sobie teraz operację polegającą na odejmowaniu i dodawaniu na zmianę wszystkich liczb naturalnych, i nazwijmy ją B.

[6]

B =1-2+3-4+5-6+7-...

Gdybyśmy natomiast obie strony zamienili znakami, to mielibyśmy:

[7]

-B=-1+2-3+4-5+6-7+...

Spróbujmy dodać to do naszej liczby A. Jest to o tyle proste, że wystarczy każdy element z operacji A dodać do każdego elementu operacji B. A więc:

[8]

A+B=(1+1)+(-2-1)+(+3+1)+(-4-1)+(5+1)+(-1-6)+(1+7)...

czyli

[9]

A+B=2-3+4-5+6-7+8-...

dodajmy do obu stron -1

[10]

-1+A+B=-1+2-3+4-5+6-7+8-...

czyli faktycznie mamy:

[11]

-1+A+B=-B

Ponieważ znamy wartość A to możemy napisać:

[12]

-1+0,5+B=-B

Czyli:

[13]

-0,5=-2B

Czyli

[14]

B=0,25 czyli 1/4.

I znów coś niezwykłego. Gdy odejmujemy od siebie i dodajemy do siebie na zmianę liczby naturalne, to wynikiem jest 1/4. Naprawdę! Bez żadnych sztuczek!

No i teraz przejdziemy do obliczenia sumy wszystkich liczb naturalnych, którą to sumę nazwiemy C.

[15]

C=1+2+3+4+5+6+7+...

przypomnijmy sobie B, a właściwie -B:

[16]

-B=-1+2-3+4-5+6-7+...

Dodajmy te liczby do siebie:

[17]

C-B=(1-1)+(2+2)+(3-3)+(4+4)+(5-5)+(6+6)+(7-7)+(8+8)

[18]

C-B=0+4-0+8-0+12-0+16+...

[19]

C-B=4+8+12+16+...

Ten ciąg, to nic innego, jak tablica 4 z tabliczki mnożenia! Czyli bez problemu możemy to przedstawić jako:

C-B=4(1+2+3+4...)

Bez trudu zauważymy, że to, co jest w nawiasie, to liczba C. Mamy więc faktycznie działanie:

[20]

C-B=4C

Wiemy, że B-1/4 więc:

[21]

C-1/4=4C

Przenosimy -1/4 na drugą stronę i to samo robimy z 4C i otrzymujemy:

[22]

C-4C=1/4

Czyli

[23]

-3C=1/4

i gdy podzielimy obie strony przez -3 otrzymamy:

[24]

C=-1/12

Oznacza to ni mniej ni więcej, że suma wszystkich liczb naturalnych to -1/12

Czyli 1+2+3+4+5+6+7+8+9+.... i tak w nieskończoność to -1/12

Ja wiem, że wielu czytelników rzuci się teraz do działania, żeby przyłapać mnie na oszustwie. Zaczną szukać dzielenia przez zero czy innych zakazanych operacji. Nie znajdą ich. Wszystkie powyższe działania są całkowicie poprawne, logiczne i co najśmieszniejsze

PRAWDZIWE!

A skąd wiadomo, że prawdziwe? Otóż stwierdzono to eksperymentalnie.

Na początku lat pięćdziesiątych XX wieku pewien holenderski fizyk teoretyczny, Hendrik Casimir prowadził badania, a właściwie obliczenia dotyczące wpływu oddziaływań kwantowych na siły powierzchniowe, cokolwiek to oznacza. Podczas tych obliczeń, w jednym z równań pojawiła mu się suma wszystkich liczb naturalnych. Jak wiadomo liczb naturalnych jest nieskończenie wiele, a fizycy teoretyczni BARDZO nie lubią, gdy w ich obliczeniach pojawia się jakakolwiek nieskończoność. Zazwyczaj próbują jakoś ją obejść, zignorować, oszukać wzór, ale na szczęście Hendrik Casimir przypomniał sobie, że suma wszystkich liczb naturalnych to -1/12. Wstawił więc tę liczbę do swojego wzoru w miejsce sumy wszystkich liczb naturalnych, i okazałao się, że to działa! Eksperymenty przeprowadzone następnie przez fizyków eksperymentalnych na bazie obliczeń Casimira zadziałały i pokazały, że są one jak najbardziej poprawne! Czyli sama natura zweryfikowała obliczenia i potwierdziła, że suma wszystkich liczb naturalnych równa się -1/12.

Jak to możliwe? To proste w swojej złożoności! Nasze rozumienie pojęć "SUMA" czy "DODAWANIE" odnosi się do bardzo ograniczonych, wręcz marginalnych przypadków obliczeń odnoszących się do zupełnie nic nieznaczącego wycinka zbioru liczb. Gdy zabierzemy się za całe zbiory, które mają nieskończoną liczbę elementów, wówczas pojawiają się zupełnie nieznane nam właściwości działań dodawania, którego efektem jest na przykład tajemnicza liczba -1/12.

Następny tekst


Jeśli uważasz, że to co przeczytałeś było ciekawe albo wartościowe, kliknij na zieloną łapkę. Albo na tę drugą, jeśli nie. Takie kliknięcie zawsze jest przyjemne, bo oznacza, że to co piszę nie pozostawiło Cię obojętnym. Możesz również udostepnić ten tekst w serwisach społecznościowych, dzięki czemu inni też go zobaczą. możesz też zasubskrybować kanał RSS który będzie cię powiadamiał o nowych wpisach: uruchom subskrypcje kanału RSS

kliknij, jeśli tekst ci się spodobałkliknij, jeśli tekst ci się nie spodobał
Skomentuj

Pewne sprawy muszą być jasne - to jest MÓJ blog, więc to ja decyduję o tym, co się na tych stronach pojawi, a co nie. Tak więc gdyby ktoś chciał wypisywać tutaj rzeczy, których nie chcę tu widzieć (myślę głównie o jakichś wulgaryzmach, spamie itp), to je po prostu usunę. Takie jest moje zbójeckie prawo. (Merytorycznych, ale krytycznych wobec mojego tekstu uwag nie usuwam.)...aha, i jeszcze jedno - w komentarzach nie wolno umieszczać linków.





Smok Walery z Fuldy w Hesji

22-01-2021 21:50:26 z numeru IP: 217.229.96.233

Hm,wydaje mi się ze liczby typu -1 nie są liczbami naturalnymi. Zbiór liczb naturalnych to N={1,2,3,...}. Można byłoby za liczbę naturalną uznać też zero. Ale niekoniecznie. Lecz jest to kwestia definicji, umowy albo smaku. O gustach się jakoby nie dyskutuje. Mi odpowiada taka definicja: N0={0}+N={0,1,2,3,...}. Jakby taki trochę rozszerzony zbiór. Miłośnicy Linuxa czy szerzej: Unix'ów spojrzą na to z pewnością przychylnym okiem gdyż zaczynają numerację od zera np. terminal tty0. Taka to ich natura. Zatem chyba należy mówić o zbiorze liczb całkowitych. A teraz do rzeczy: przykład [1] i niestety coś takiego jak A=1-1+1-1+... - ten ciąg nie jest zbieżny. Skoro nie jest zbieżny to nie ma granicy, wobec tego nie ma za bardzo sensu mówić o wartości tego wyrażenia. A jeśli tak, to nie jest nim liczba, konkretna. Wobec tego,tam wobec,natomiast,poniekąd itd. dalsze przekładanie części wyrażenia na lewo, prawo, zmiana znaku itd. (przy całym szacunku dla tych czynności) nie bardzo już mają sens, choć formalnie są poprawne. Jak się wydaje, sprawa rypła się już na bardzo wczesnym etapie choć trop mógł się wydawać obiecujący (bodajże tak o tropie powiedział inspektor Fernack,cytat z książki +Święty w Nowym Jorku+). Mam nadzieję, że nic nie pokręciłem.

Reglinda z Naumburga

23-01-2021 11:43:27 z numeru IP: 217.229.106.195

Jeszcze jedna uwaga : wyrażenie A z punktu [1] Autor opisuje jako liczbę ! To błąd ! To nie jest liczba ! Twierdzenie że jest to liczba i to równa 0,5 to błąd ! Protestuję ! Żeby wyrażenie przyjęło postać liczby to jeszcze musi na to zasłużyć !

Autor

23-01-2021 14:41:30 z numeru IP: 83.28.243.157

Ok, co do drugiej uwagi - poprawiłem.

Vlad_P z Krakowa

08-07-2021 19:10:24 z numeru IP: 89.64.59.162

Kwestia przejętych aksjomatów. Te przyjęte przez Casimira są sprzeczne z tymi których nas uczą w szkole - ktoś już tutaj napisał, że do działań na szeregach konieczna jest ich zbieżność, co w zasadzie jest równoważne z tym, że nie możemy sobie beztrosko działać na nieskończonościach. Fizycy kwantowi (ku oburzeniu "matematyków" starej daty) robią to, i... TO DZIAŁA (w ich światku "QM", zwłaszcza w "QFT"). Cóż, obliczenia zgadzają się z pomiarami z doświadczeń, ale i tak wiele osób nazywa to "brudnymi sztuczkami fizyki kwantowej". :-)

JonB

27-07-2021 19:36:00 z numeru IP: 79.228.205.140

Zgadza sie, za dawnych czasow uwazalbym, ze aby mowic o jakiejs wartosci liczbowej typu 1/2 czy 5/8 jako wartosci szeregu liczbowego, to ten szereg musialby byc po prostu zbiezny. Te przedstawione tutaj nie maja granicy, nawet niewlasciwej + lub - nieskonczonosc. Ale ... Czasy ida ciekawe, wiec codziennie zerkam w gazete czy nie zmienilo sie cos w tej materii.

JonB

27-07-2021 20:05:08 z numeru IP: 79.228.205.140

Zaraz, zaraz. Byc moze lapie idee. To znaczy szereg X nie jest zbiezny, szereg Y tez nie jest zbiezny ale ich suma, jakby tak element po elemencie ustawic obok siebie i sumowac, utworzyc szereg Z to juz moze i rozumiem ze ten szereg moglby byc zbiezny. Coz.... moze i nowe podejscie .... Albo tak kilka szeregow X,Y,Z,T,U i dopiero ich ostateczy wynik daje zbieznosc czyli juz jestesmy w domu i moze to dawac konkretny wynik numeryczny czyli liczbowy. To byc moze ma sens. Na wszelki wypadek sledze prase codzienna.